問1 (5点) Tの分布関数 \(F(t) = P(T\leq t)\) を求めなさい.

\(（X_i, i = 1, . . . , n）\)は互いに独立同一であるので, \[ \begin{aligned} F(t)&= P(T\leq t)\\ &= P(X_1\leq t)\cdots P(X_n\leq t)\\ &= \Bigl(\frac{t}{\theta}\Bigr)^n \end{aligned} \]

問2（5点）Tの密度関数\(f(t)\)を求めなさい.

\[ \begin{aligned} f(t)&= F^{'}(t)\\ &= \biggl\{\Bigl(\frac{t}{\theta}\Bigr)^n\biggr\}^{'}\\ &= \Bigl(\frac{1}{\theta}\Bigr)^nnt^{n-1}\:\:,(0\leq t\leq\theta) \end{aligned} \]

問3（5点）Tが十分統計量であることを示しなさい.

\((X_1, . . . , X_n)\)の同時密度関数は, \[ f_{\theta}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \theta^{-n} & (0\leq x_i \leq \theta\:\: \forall i) \\ 0 & (otherwise) \tag{1} \end{array} \right. \] ここで \[ I_{[max\:x_i\leq \theta]}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & (max\:x_i\leq \theta) \\ 0 & (otherwise) \end{array} \right. \] とおき,さらに, \[ h(x) = h(x_1,\cdots,x_n)= \left\{ \begin{array}{ll} 1 & (x_i\geq \theta\:\: \forall i ) \\ 0 & (otherwise) \end{array} \right. \] とおく.
ここで,\(x_i\leq\theta,\:\forall i\Leftrightarrow max\:x_i\leq \theta\) であるため,(1)式の\(f_\theta(x)\) は, \[ f_\theta(x) = \theta^{-n}I_{[max\:x_i\leq \theta]}(x)h(x) \] と書ける.
ここで, \(g(\theta) = \theta^{-n}I_{[max\:x_i\leq \theta]}(x)\) とおけば, \[ f_\theta(x) = g(\theta)h(x) \] と分解できる.
したがって十分統計量の分解定理より, \(T = max(X_1, . . . , X_n)\) は十分統計量であることが示せた.

問4（5点）Tが完備であることを示しなさい.

問2より,Tの密度関数は \[ \begin{aligned} f(t)&= F^{'}(t)\\ &= \Bigl(\frac{1}{\theta}\Bigr)^nnt^{n-1} \end{aligned} \] である.
ここで任意の関数\(g(t)\)について, \[ \begin{aligned} E_{\theta}\bigl(g(T)\bigr)&= \int_{0}^{\theta}g(t)\: \Bigl(\frac{1}{\theta}\Bigr)^nnt^{n-1}dt\\ &= \Bigl(\frac{n}{\theta^n}\Bigr)\int_{0}^{\theta}g(t)\: t^{n-1}dt\\ &=0,\:\:\:\forall\:\theta>0 \end{aligned} \] と仮定する.関数 \(g\) が連続ならば, \(0=\int_{0}^{\theta}g(t)\cdot t^{n-1}dt\) を\(\theta\) で微分することで, \(g(\theta)\theta^{n-1}=0\) ,すなわち, \[ g(\theta)=0,\:\: \forall\:\theta>0 \] を得る.
関数 \(g\) が必ずしも連続でない場合でもほぼ同様の議論により,関数 \(g\) はほとんど至る所で0に等しいことが証明できる.
このことから,Tは完備であることが示せた.

問5（5点）Tを使ったUMVUを求めなさい.

ここで \(\hat{\theta}=2X_1\) とおくと,
\(E[\hat{\theta}]=E[2X_1]=\theta\) であるので, \(\hat{\theta}\) は \(\theta\) の不偏推定量である.
ここで \(\hat{\theta}\) は \(X_1\) 以外の観測値を無視した推定量であるため,ラオ・ブラックウェルの定理を用いて \(\hat{\theta}\) を改善する.
\(T\) が与えられたときの \(X_1\) の条件付き分布は, \[ P(X_1=t|T=t)=\frac{1}{n}\\ P(X_1\leq t|T=t)=\Bigl(1-\frac{1}{n}\Bigr)\frac{x}{t}\:\:\:\:\:\:\:\:\:(0<x<t) \] となることを用いると,条件付き期待値 \(E[\hat{\theta}|T=t]\) は, \[ \begin{aligned} E[\hat{\theta}|T=t]&=2E[X_1|T=t]\\ &= 2\biggl(t\cdot\frac{1}{n}+\Bigl(1-\frac{1}{n}\Bigr)\cdot\frac{t}{2}\biggr)\\ &= \frac{2t}{n}+t-\frac{t}{n}\\ &= \Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)t \end{aligned} \] と書ける.

よって改善した不偏推定量 \(\hat{\theta}^*\) は, \[\hat{\theta}^*=\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)T\] である.

ここで, \(\hat{\theta}^*\) が \(\theta\) の不偏推定量であることを証明する.
問2より,Tの密度関数は \[ \begin{aligned} f(t)&= F^{'}(t)\\ &= \Bigl(\frac{1}{\theta}\Bigr)^nnt^{n-1} \end{aligned} \] であるから,
\[ E[\hat{\theta}^*]=\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)\: E[T] \] \(T\) の期待値 \(E[T]\) は, \[ \begin{aligned} E[T]&=\int_{0}^{\theta}t\cdot f(t)dt\\ &= \Bigl(\frac{1}{\theta}\Bigr)^n\: n\int_{0}^{\theta}t^{n-1}\cdot t\:dt\\ &= \Bigl(\frac{1}{\theta}\Bigr)^n\: n\int_{0}^{\theta}t\:dt\\ &= \Bigl(\frac{1}{\theta}\Bigr)^n\: n\int_{0}^{\theta}\Bigl(\frac{1}{n+1}\cdot t^{n+1}\Bigr)^{'}\:dt\\ &= \Bigl(\frac{1}{\theta}\Bigr)^n\:{n}\cdot{\frac{1}{n+1}}\cdot{\theta^{n+1}}\\ &= \frac{n}{n+1}\theta \end{aligned} \] となる.よって,
\[ \begin{aligned} E[\hat{\theta}^*]&=\Bigl(\frac{n+1}{n}\Bigr)\cdot{\frac{n}{n+1}\theta}\\ &= \theta \end{aligned} \] となるため, \(\hat{\theta}^*\) が \(\theta\) の不偏推定量であることが示せた.

ここで,他の任意の不偏推定量を \(\tilde{\theta}\) とし,ラオ・ブラックウェルの定理より, \(\tilde{\theta}^*=E[\tilde{\theta}|T=t]\) とおく.
ラオ・ブラックウェルの定理から, \[ V(\tilde{\theta}^*)\leq V(\tilde{\theta}) \] であり,
\(f(T)=\tilde{\theta}^*(T)-\hat{\theta}^*(T)\)とおくと
\(E[\tilde{\theta}^*]=0,E[\hat{\theta}^*]=0\) であるので, \[ E[f(T)]=E[\tilde{\theta}^*(T)-\hat{\theta}^*(T)]=0\:,\forall\:\theta \] となる.
したがって完備性の定義より, \(f(T)\equiv0\) .
つまり, \(\tilde{\theta}^*(T)\equiv\hat{\theta}^*(T)\) でなければならない.
このとき, \(V(\tilde{\theta}^*)=V(\hat{\theta}^*)\) となるので, \[ V(\hat{\theta}^*)=V(\tilde{\theta}^*)\leq V(\tilde{\theta}) \] となることが示せた.
よって, \(\hat{\theta}^*=\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)T\) が UMVU となることが示せた.